TRIANGULO DE PASCAL.

TRIANGULO DE PASCAL.

El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.

El Triángulo se construye de la siguiente manera: escribimos el número «1» centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dichas casillas; continuamos el proceso escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los coeficientes de las identidades:
pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio:
Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton
La expresión que proporciona las potencias de una suma se denomina Binomio de Newton.
(1)
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal.
Hemos visto que era cierto para n = 2 y n = 3; también lo es para n = 0: (a + b+ w+ d)o = 1 = 1·aob0 y con n = 1: (a + b)¹ = a + b = 1·a + 1·b.
Para obtener el resultado de cualquier valor de n ∈ N, se procede por inducción matemática. Suponiendo que es cierto para un valor de n, deducimos que lo es también para n+1. Observemos lo que sucede con n = 4.

El desarrollo de (a + b)4 consiste en el desarrollo de (a + b) (a + b)³.
Si sólo se escriben los coeficientes, obtenemos la siguiente suma:

Obviamente, aparecen las mismas cifras desplazadas en una posición: la suma consiste en añadir a un coeficiente el coeficiente situado a su derecha, y esto es justamente lo que se obtiene en el triángulo de Pascal.
Coeficientes del binomio de Newton

Se inscribe el triángulo de Pascal en una tabla para poder nombrar a cada coeficiente del mismo. El número en la línea n y la columna p se denota:
O más raramente
(C por "combinación") y se dice "n sobre p", "'combinación de n en p"' o "coeficiente binomial n, p". Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Por definición misma, tenemos, (para todo n natural):
para cualquier valor de a y b. De hecho, es una igualdad de polinomios en Z[a, b]. Sin perder en generalidad, resulta a veces más práctica la definición:
Vista como una igualdad de polinomios en Z[X]. De esta fórmula se deducen dos consecuencias:
Tomando X = 1 se obtiene:
La suma de los coeficientes de una misma línea vale 2n. En efecto: 1 = 20,1 + 1 = 2 = 21,1 + 2 + 1 = 4 = 22,1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23,1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24... Con X = − 1 se obtiene, (n > 0):
: la suma alterna de los números de una misma línea vale 0.

Los coeficientes binomiales son la base misma de la combinatoria. Veamos por qué: Tomemos de nuevo un binomio, por ejemplo (a + b)3, y desarrollémoslo, pero de una manera distinta del párrafo anterior:
luego quitemos las paréntesis, pero sin cambiar el orden en los productos, es decir sin aplicar la conmutatividad:
Y agrupemos los términos que contienen el mismo número de a, (y de b):
El primer paréntesis contiene todas las palabras constituidas de un b y dos a. En este caso, es fácil ver que hay exactamente tres. En el caso general, para contar las palabras, hay que aplicar la conmutatividad, pues las palabras que contienen el mismo número de a y b darán el mismo término:
El primer factor 3, que es
cuenta las tres palabras mencionadas (aab, aba y baa).

El segundo factor 3, que es
cuenta las palabras hechas de dos b y un a (abb, bab y bba).
Obviamente, sólo hay una palabra de tres letras constituidas de a solamente, y esto corresponde al monomio 1·a³, con 1 = ( «0 » por ninguna b).
En vez de hablar de palabras formadas con a y b, es equivalente imaginar una hilera de n cajones inicialmente vacíos, y p bolas intercambiables que se tienen que repartir, en cada cajón no cabiendo más de una. Se trata en todos casos de repartir p objetos entre n sitios posibles, o de escoger un grupo de p objetos/sitios entre n objetos/sitios. De ahí la apelación p entre n.
Todo lo anterior lleva al teorema:
Hay exactamente
maneras de escoger un conjunto de p elementos entre n elementos.
En matemática formal, se prefiere hablar de conjuntos:
Existen
subconjuntos de cardinal p en un conjunto de cardinal n.
Este punto de vista permite hallar la fórmula para los coeficientes binomiales. En efecto, para elegir el « primer » elemento, hay n posibilidades, luego para escoger el segundo quedan n-1 posibilidades y así sucesivamente hasta el elemento número p, que tiene n-p+1. El orden en el que se ha elegido estos p elementos no importa, se podía haber obtenido el mismo subconjunto de p elementos en otro orden. Hay p! permutaciones posibles de estos p elementos, es decir p! maneras de obtener el mismo conjunto.
Por tanto hay
subconjuntos posibles.