martes, 18 de mayo de 2010

TRIANGULO DE PASCAL.

TRIANGULO DE PASCAL.

El triángulo de Pascal en matemáticas es un conjunto infinito de números enteros ordenados en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton.

El Triángulo se construye de la siguiente manera: escribimos el número «1» centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) lo escribimos debajo de dichas casillas; continuamos el proceso escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3)...
Las cifras escritas en las filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los coeficientes de las identidades:
pues son los coeficientes de sus monomios y, además, se puede generalizar para cualquier potencia del binomio:
Vínculo entre el triángulo de Pascal y el binomio de Newton
La expresión que proporciona las potencias de una suma se denomina Binomio de Newton.
(1)
En esta expresión, lo único que se desconoce son los coeficientes de los monomios.
Los coeficientes de la forma desarrollada de (a + b)n se encuentran en la línea «n + 1» del Triángulo de Pascal.
Hemos visto que era cierto para n = 2 y n = 3; también lo es para n = 0: (a + b+ w+ d)o = 1 = 1·aob0 y con n = 1: (a + b)¹ = a + b = 1·a + 1·b.
Para obtener el resultado de cualquier valor de n ∈ N, se procede por inducción matemática. Suponiendo que es cierto para un valor de n, deducimos que lo es también para n+1. Observemos lo que sucede con n = 4.

El desarrollo de (a + b)4 consiste en el desarrollo de (a + b) (a + b)³.
Si sólo se escriben los coeficientes, obtenemos la siguiente suma:

Obviamente, aparecen las mismas cifras desplazadas en una posición: la suma consiste en añadir a un coeficiente el coeficiente situado a su derecha, y esto es justamente lo que se obtiene en el triángulo de Pascal.
Coeficientes del binomio de Newton

Se inscribe el triángulo de Pascal en una tabla para poder nombrar a cada coeficiente del mismo. El número en la línea n y la columna p se denota:
O más raramente
(C por "combinación") y se dice "n sobre p", "'combinación de n en p"' o "coeficiente binomial n, p". Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Por definición misma, tenemos, (para todo n natural):
para cualquier valor de a y b. De hecho, es una igualdad de polinomios en Z[a, b]. Sin perder en generalidad, resulta a veces más práctica la definición:
Vista como una igualdad de polinomios en Z[X]. De esta fórmula se deducen dos consecuencias:
Tomando X = 1 se obtiene:
La suma de los coeficientes de una misma línea vale 2n. En efecto: 1 = 20,1 + 1 = 2 = 21,1 + 2 + 1 = 4 = 22,1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23,1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24... Con X = − 1 se obtiene, (n > 0):
: la suma alterna de los números de una misma línea vale 0.

Los coeficientes binomiales son la base misma de la combinatoria. Veamos por qué: Tomemos de nuevo un binomio, por ejemplo (a + b)3, y desarrollémoslo, pero de una manera distinta del párrafo anterior:
luego quitemos las paréntesis, pero sin cambiar el orden en los productos, es decir sin aplicar la conmutatividad:
Y agrupemos los términos que contienen el mismo número de a, (y de b):
El primer paréntesis contiene todas las palabras constituidas de un b y dos a. En este caso, es fácil ver que hay exactamente tres. En el caso general, para contar las palabras, hay que aplicar la conmutatividad, pues las palabras que contienen el mismo número de a y b darán el mismo término:
El primer factor 3, que es
cuenta las tres palabras mencionadas (aab, aba y baa).

El segundo factor 3, que es
cuenta las palabras hechas de dos b y un a (abb, bab y bba).
Obviamente, sólo hay una palabra de tres letras constituidas de a solamente, y esto corresponde al monomio 1·a³, con 1 = ( «0 » por ninguna b).
En vez de hablar de palabras formadas con a y b, es equivalente imaginar una hilera de n cajones inicialmente vacíos, y p bolas intercambiables que se tienen que repartir, en cada cajón no cabiendo más de una. Se trata en todos casos de repartir p objetos entre n sitios posibles, o de escoger un grupo de p objetos/sitios entre n objetos/sitios. De ahí la apelación p entre n.
Todo lo anterior lleva al teorema:
Hay exactamente
maneras de escoger un conjunto de p elementos entre n elementos.
En matemática formal, se prefiere hablar de conjuntos:
Existen
subconjuntos de cardinal p en un conjunto de cardinal n.
Este punto de vista permite hallar la fórmula para los coeficientes binomiales. En efecto, para elegir el « primer » elemento, hay n posibilidades, luego para escoger el segundo quedan n-1 posibilidades y así sucesivamente hasta el elemento número p, que tiene n-p+1. El orden en el que se ha elegido estos p elementos no importa, se podía haber obtenido el mismo subconjunto de p elementos en otro orden. Hay p! permutaciones posibles de estos p elementos, es decir p! maneras de obtener el mismo conjunto.
Por tanto hay
subconjuntos posibles.

FORMULAS DE LAS INTEGRALES.

FORMULAS DE LAS INTEGRALES.


= + c
= Lu + c
= + c
= eu + c
= tg u + c
= - ctg u + c
= arc tg +c
= Ln ( ) + c
= Ln ( ) + c
= ln u ( u + ) + c
= arc sec + c
=ln (u + ) + c
du = + arc sen +c
du = + ln ( +c
du = - ln (u+ )+ c
du = +c
du = +c
cos x dx
E1 du = . un+1 +c
E2 = luu+c

FORMULAS DE LAS DERIVADAS.

FORMULAS DE LAS DERIVADAS.

Derivada de una constante

F(X)=K f'(x) =0

Derivada de x

F(x)=x f'(x) =1

Derivada de función afín

f(x)=ax+b f'(x) =a

Derivada de una potencia

F(x)=un f'(x) =n.un-1.u'

Derivada de una raíz cuadrada

F(x) = f'(x) =

Derivada de una raíz

F(x) = f'(x) =

Derivada de suma

F(x)= u+/- v f'(x)=u'+/-v'

Derivada de de una constante por una función

F(x= k.u f'(x)= k.u'

Derivada de un producto

F(x)=u.v f'(x)= u'. v+u.v'

Derivada de constante partida por una función

F(x) = f' (x) =

Derivada de un cociente

F(x) = f'(x) =

Derivada de la función exponencial

F(x) = au F' (x) =u'.a'.lna

Derivada de la función exponencial de base e

F(x)= F'(X)= U' .eu

Derivada de un logaritmo

F(x)=loga u F'(x)= = . loga e= .

Derivada de un logaritmo neperiano

f(x)=lnu f'(x)=

Derivada del seno

F(x)=sen u F'(x)= u'. cos u

Derivada del coseno

f(x)= cos u f'(x)= -u'. sen u

Derivada de la tangente

f(x)=tg u F'(x)= = u' . sec 2 u =u'. (1+tg2 u)

Derivada de la cotangente

f(x)=cotg u f'(x)= - =u'.co sec2 u=-u' . (1+cotg2 u)

Derivada de la secante

f(x)= sec u f'(x)= =u' . sec u . tg u

Derivada de la cosecante

f(x)= cosec u f'(x)=- = -u' . Cosec u. cotg u

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.

Si a, beR y m, neZ+
1. an*am= an+m Regla del producto. Es decir, se copia la base y se suman los exponentes
2. (an)m=anm Potencia a potencia, un exponente elevado a otro exponente, es la multiplicación de ambos
3. (ab)n=anbn Regla del producto a una potencia, 2 números multiplicados elevados a una potencia, es lo mismo que la multiplicación de cada número elevado a la potencia.
4. ( )n = ( Regla de cociente a una potencia, una fracción elevada a una potencia es lo mismo que el numerador elevado a la potencia y el denominador elevado a la potencia.
Donde b ≠ de 0
5. = : División de Exponentes, la división de dos números elevados a una potencia, con la misma base, es lo mismo que la base, elevada a la resta de sus exponentes.
6. = 1: Para cualquier valor de siempre es la unidad
7. = : Recíproco o Inverso, un número elevado a una potencia negativa, es lo mismo uno dividido el número elevado a la potencia.

PROPIEDADES DE LAS DIFERENCIALES.

PROPIEDADES DE LAS DIFERENCIALES.

Primera propiedad:

La diferencial de una función en un punto depende de dos variables: el punto x elegido y el incremento h que se ha tomado.

Segunda propiedad:

Al ser dy = f ' (x)·h =AC, la diferencia de una función en un punto es el incremento (aumento) de la ordenada de la tangente al aumentar en h un punto de abscisa x.

Tercera propiedad:

Si se considera la función y = f(x) = x, df(x) = dx = f'(x) · h = 1 · h = h. Así, dx = h y se puede escribir d(f(x))= dy = f ' (x) . dx, y pasando dx al primer miembro = f ' (x).

Cuarta propiedad: puesto que dy = f ' (x) = , de la noción de limite se deduce que:

cuando h es infinitamente pequeño, el cociente dy es prácticamente igual a , y puesto que h = dx , dy es prácticamente igual a f(x+h) – f(x). es decir, dy ≈ f(x+ h ) – f( x). Esta propiedad permitirá sustituir dy por f( x+h) – f(x).
cuando h es muy pequeño, con la seguridad de que el error cometido será mínimo.

PROPIEDADES DE LOS RADICALES.

PROPIEDADES DE LOS RADICALES.

Las propiedades los radicales, entre ellas: raíz de una raíz, raíz de una potencia, simplificación de radicales, ampliación de radicales, raíz de un producto, raíz de un cociente, suma de radicales, reducción a índice común, racionalización de denominadores, cociente de radicales, cociente de radicales de diferentes índices, radicales semejantes y no semejantes, adicción y sustracción entre radicales semejantes y no semejantes.
Producto de radicales
Radicales del mismo índice
Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.
. =
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.
Cociente de radicales
Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.
=
Radicales de distinto índice
Primero se reducen a índice común y luego se dividen.
Potencia de radicales
Para elevar un radical a una potencia se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.
( ) m =
Raíz de un radical
La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.
=
Racionalizar radicales
Consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos.
1Del tipo
Se multiplica el numerador y el denominador por .
= = =
2Del tipo
Se multiplica numerador y denominador por .
= = =
3Del tipo , y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

= = =

PROPIEDADES DE LOGARITMOS.

PROPIEDADES DE LOGARITMOS.


El logaritmo de un número en una base determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el número. Es la función matemática inversa de la función exponencial

Dos números distintos tienen logaritmos distintos.

Si P ≠ Q = loga Q

El logaritmo de la base es 1

loga a=1, pues a1=a

El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base

loga 1=0, pues a0 = 1

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

loga ( P .Q ) = loga P + loga Q

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador

loga = loga P - loga Q

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia

loga (Pn ) = n . loga P

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice

loga = = . loga P
8. Cambio de base: El logaritmo en base a de un número se puede obtener a partir de logaritmos en otra base

loga P =